[Profs Mat:5842] Porca oitavada, é possível?

Prezad@s


Ontem eu fui buscar um aparelho velho de som (desses que toca bolachão)
em um técnico que o consertou. O técnico e um amigo seu estavam
divergindo há semanas sobre como se lia 1/16. Assim que souberam que eu
era prof. de Matemática, então 'voaram' em cima de mim para resolver a
pendenga. Não adiantou, depois da 'autoridade' ter dado o veredicto
final, então voltaram a divergir sobre o que cada um havia dito
anteriormente. Depois dessa, seguiram-se outras dúvidas que tinham sobre
questões matemáticas.

Eis que um deles me pergunta se era possível pegar uma peça de ferro
quadrada e fazer disso algo como uma 'porca' oitavada, ou seja, obter-se
um octógono regular, cortando os 'bicos'. Falei que era possível,
tranquilamente, fazendo uma circunferência interna e cortando de um modo
adequado (óbvio), mas cortando os bicos eu não tinha certeza
(conjecturei que pudesse haver problemas de incomensurabilidade), mas
prometi voltar com a resposta.

Enquanto eu me demorava com o técnico, lembrava que o bolsista do
Projeto Canteiros estava na Usina de Compostagem provavelmente com a
carretinha cheia de composto orgânico, que estamos transportando para um
lugar cedido (informalmente) pela Prefeitura para fazermos a Usina e
horta comunitária, e que Luciano provavelmente estivesse a minha espera.
Corri de volta e prosseguimos nosso trabalho.

No final, quando já estávamos por encerrar, Luciano me pediu para
explicar a ele como desenvolver um algoritmo para decidir se um número
era primo. Expliquei pra ele e depois aplicamos o algoritmo no Excel.
Levei Luciano para sua casa...Ufa, agora já podia pensar na "porca
oitavada". Mas já era hora de ir pra Universidade dar aula. A porca
ficou na minha cabeça. Quando cheguei em casa, pus-me a pensar. Sim,
alguma coisa me dizia que era possível. Modelei, dei alguns passos, mas
não encerrei o assunto. Dormi pensando na "porca". Acordei, a primeira
coisa que fiz foi sentar-me à bancada e rabiscar algumas folhas. Sim, é
fácil provar que é possível, inclusive extraindo daí uma função que
define os pontos onde deveriam ser feitos os 'cortes' em função do
tamanho da porca.

Só uma historieta de quarta/quinta de maio de 2012. Fica aí como
sugestão para quem gosta de um desafio tentar mostrar isso.

Abs, Deniz

PS: faltou dizer uma coisa muito importante, que a partir da resolução
algébrica, vislumbra-se uma técnica super simples de desenho geométrico
para marcar os pontos de corte. Enfim, depois da técnica, já não se
precisa mais da álgebra, basta fazer dois riscos, mais alguns rabiscos,
e já saberemos onde colocar a ponta seca do compasso e o que fazer com
ele depois.

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